1. 向量乘以单位矩阵
等于单位阵。因为实对称阵的特征向量的逆矩阵等于该特征向量的转置，所以特征向量乘以该特征向量的转置相当于特征向量乘以自身的逆矩阵，即因为A^-1=A^T，所以A*A^T=A*A^-1=E。
主要性质：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
2. 向量乘以单位矩阵 旋转
1,所谓向量的乘法是指向量的内积以及外积这两种运算。内积运算的结果是一个实数，并不是向量，所以内积运算对向量来说不封闭，从代数角度来说，这不是一个好的运算，不封闭且不满足结合律。外积运算的结果是一个矩阵，同理，这个运算不满足结合律交换律，也不是一个好的代数运算。
2,复数乘法运算的结果仍然是复数，如果复数不为零，还可以定义乘法的逆运算除法。乘法运算满足交换律结合律，且运算结果封闭。这是一个好的代数运算。复数乘法有明确的几何意义，为复数模的缩放以及旋转。这跟矩阵乘法的几何意义类似。
3,矩阵乘法满足结合律但不满足交换律，如果矩阵的行列式不为零，也可以定义矩阵乘法的逆运算。矩阵乘法也有明确的几何意义，也是对向量的模的缩放以及旋转，这个变换把直线仍旧变为直线，所以矩阵表示的运算被称为线性映射。
3. 向量乘以单位矩阵怎么算
向量范数萊垍頭條
定义1. 设 ,满足條萊垍頭
1. 正定性:║x║≥0,║x║=0 iff x=0條萊垍頭
2. 齐次性:║cx║=│c│║x║,條萊垍頭
3. 三角不等式:║x+y║≤║x║+║y║萊垍頭條
则称Cn中定义了向量范数,║x║为向量x的范数.萊垍頭條
可见向量范数是向量的一种具有特殊性质的实值函数.垍頭條萊
常用向量范数有,令x=( x1,x2,…,xn)T萊垍頭條
1-范数:║x║1=│x1│+│x2│+…+│xn│垍頭條萊
2-范数:║x║2=(│x1│2+│x2│2+…+│xn│2)^1/2條萊垍頭
∞-范数:║x║∞=max(│x1│,│x2│,…,│xn│)頭條萊垍
易得 ║x║∞≤║x║2≤║x║1≤n1/2║x║2≤n║x║∞條萊垍頭
定理1.Cn中任意两种向量范数║x║α,║x║β是等价的,即有m,M>0使垍頭條萊
m║x║α≤║x║β≤M║x║萊垍頭條
可根据范数的连续性来证明它.由定理1可得頭條萊垍
定理2.设{x(k)}是Cn中向量序列,x是Cn中向量,则萊垍頭條
║x(k)-x║→0(k→∞) iff xj(k)-xj→0,j=1,2,…,n(k→萊垍頭條
∞)垍頭條萊
其中xj(k)是x(k)的第j个分量,xj是x的第j个分量.此时称{x(k)}收敛于x,记作x(k)萊垍頭條
→x(k→∞),或 .頭條萊垍
三、 矩阵范数萊垍頭條
定义2. 设 ,满足萊垍頭條
1. 正定性:║X║≥0,║X║=0 iff X=0萊垍頭條
2. 齐次性:║cX║=│c│║X║,條萊垍頭
3. 三角不等式:║X+Y║≤║X║+║Y║萊垍頭條
4. 相容性: ║XY║≤║X║║Y║萊垍頭條
则称Cn×n中定义了矩阵范数,║X║为矩阵X的范数.萊垍頭條
注意, 矩阵X可视为n2维向量,故有前三条性质.因此定理1,2中向量的等价性和向量垍頭條萊
序列收敛的概念与性质等也适合于矩阵.第四条,是考虑到矩阵乘法关系而设.更有矩條萊垍頭
阵向量乘使我们定义矩阵范数向量范数的相容性:萊垍頭條
║Ax║≤║A║║x║頭條萊垍
所谓由向量范数诱导出的矩阵范数与该向量范数就是相容的.頭條萊垍
定理3. 设A是n×n矩阵,║?║是n维向量范数则萊垍頭條
║A║=max{║Ax║:║x║=1}= max{║Ax║/║x║: x≠0}頭條萊垍
是一种矩阵范数,称为由该向量范数诱导出的矩阵范数或算子范数,它们具有相容性垍頭條萊
或者说是相容的.條萊垍頭
单位矩阵的算子范数为1萊垍頭條
可以证明任一种矩阵范数总有与之相容的向量范数.例如定义:萊垍頭條
║x║=║X║,X=(xx…x)萊垍頭條
常用的三种向量范数诱导出的矩阵范数是萊垍頭條
1-范数:║A║1= max{║Ax║1:║x║1=1}=萊垍頭條
2-范数:║A║2=max{║Ax║2:║x║2=1}= ,λ1是AHA的萊垍頭條
最大特征值.萊垍頭條
∞-范数:║A║∞=max{║Ax║∞:║x║∞=1}=垍頭條萊
此外还有Frobenius范数: .它与向量2-范数相容.但非向量范数诱导出的矩阵范数.萊垍頭條
四、 矩阵谱半径頭條萊垍
定义3.设A是n×n矩阵,λi是其特征值,i=1,2,…,n.称萊垍頭條
为A的谱半径.頭條萊垍
谱半径是矩阵的函数,但非矩阵范数.对任一矩阵范数有如下关系:頭條萊垍
ρ(A)≤║A║條萊垍頭
因为任一特征对λ,x,Ax=λx,令X=(xx…x),可得AX=λX.两边取范数,由矩阵范数的萊垍頭條
相容性和齐次性就导出结果.萊垍頭條
定理3.矩阵序列I,A,A2,…Ak,…收敛于零的充分必要条件是ρ(A)垍頭條萊
4. 矩阵乘单位向量等于
如果是行向量和列向量相乘是一个数=aA+bB+cC列向量和行向量相乘是一个矩阵：（aA,aB,aCbA,bB,bCcA,cB,cC）
5. 列向量乘以单位矩阵
单位行向量（1行n列）乘以单位列向量（n行1列）结果结果是1行1列的向量,也就是一个数单位列向量乘以单位行向量结果是n*n阶向量因为x为单位列向量，则xT是单位行向量∴(xTx)就是单位行向量乘以单位列向量，且特征值都是1，所以(xTx)=1
扩展资料在线性代数中，行向量是一个 1×n的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的行所组成即行向量。行向量的转置是一个列向量，反之亦然。所有的行向量的集合形成一个向量空间，它是所有列向量集合的对偶空间。矩阵乘法是把每一个矩阵的 列向量同另一个矩阵的每行向量相乘。欧几里得空间的点积就是把其中一个列向量的转置与另一个列向量相乘。
6. 单位矩阵与向量相乘
可以相乘的，只要满足矩阵的列数，等于列向量的行数（分量个数）也就是说，把列向量，看出nx1阶矩阵，满足矩阵的乘法要求即可
7. 向量乘以单位矩阵等于什么
等于单位阵。因为实对称阵的特征向量的逆矩阵等于该特征向量的转置，所以特征向量乘以该特征向量的转置相当于特征向量乘以自身的逆矩阵，即因为A^-1=A^T，所以A*A^T=A*A^-1=E。
主要性质：
1.实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2.实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3.n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4.若λ0具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
扩展资料：
对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。这样，能节约近一半的存储空间。
①按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素
即按
次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。
其中：
sa[0]=a0,0
sa[1]=a1,0
……
sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1
②元素aij的存放位置
aij元素前有i行（从第0行到第i-1行），一共有：
1+2+…+i=i×(i+1)/2个元素。
在第i行上，
之前恰有j个元素，即ai0,ai1,…,ai,j-1 ，因此有：
sa[i×(i+1)/2+j]=aij
③aij和sa[k]之间的对应关系：
若i≥j，k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
若i<j，k=j×(j+1)/2+i0≤k<n(n+1)/2
令I=max(i，j)，J=min(i，j)，则k和i，j的对应关系可统一为：
k=i×(i+1)/2+j0≤k<n(n+1)/2
（3）对称矩阵的地址计算公式
LOC(aij)=LOC(sa[k])
=LOC(sa[0])+k×d=LOC(sa[0])+[I×(I+1)/2+J]×d
通过下标变换公式，能立即找到矩阵元素aij在其压缩存储表示sa中的对应位置k。因此是随机存取结构。
一个向量乘以自身的转置，就是这个向量本身的“2-范数”，数值上等于这个向量各个元素的平方和，当然这里的向量指的是行向量。如果是列向量乘以自身的转置，那么将得到一个阶数与向量元素个数相同的方阵，这个方阵必定是不可逆的，因为不同行、不同列的元素对应成比例，所以行列式为0.
8. 单位向量相乘是单位矩阵吗
矩阵中那个类似绝对值符号的，不叫绝对值。是指矩阵的行列式,矩阵A的行列式通常也写作detA。你可以看一下书中对矩阵行列式的定义。就可以明白乘法是怎么做的了。矩阵乘法中单位矩阵E，类似于普通实数或复数乘法中的“1”。任何方阵*E还等于原来的矩阵。所以那个E就可以省略了。
9. 单位矩阵乘以一个向量
将矩阵乘以数字，并将得到的新矩阵中的每个元素乘以该数字。将行列式乘以一个数字，该数字只能是元素的行或列乘以此数字，而不是所有元素乘以此数字。
乘法结合律： (AB)C=A(BC)．
乘法左分配律：(A+B)C=AC+BC
乘法右分配律：C(A+B)=CA+CB
对数乘的结合性k(AB）=(kA)B=A(kB）．
转置 (AB)T=BTAT．矩阵乘法一般不满足交换律
扩展资料
行向量和列向量本身秩都为1，所以r(AB)<=1，即乘积小于等于1。
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 向量的加法OB+OA=OC。
a+b=(x+x'，y+y')。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB.即“共同起点，指向被减向量”
a=(x，y)b=(x'，y') 则a-b=(x-x'，y-y')
c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。
3、向量的数乘
实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。
当λ>0时，λa与a同方向
当λ<0时，λa与a反方向； 向量的数乘当λ=0时，λa=0，方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
10. 单位向量单位矩阵
正交矩阵的列向量都是单位向量。
所以列向量ai是单位向量，且两两正交。
行向量组指的是矩阵每行构成一个向量，所有行构成的向量的整体称为一个行向量组。
列向量组指的是矩阵每列构成一个向量，所有列构成的向量的整体称为一个列向量组。
在线性代数中，列向量是一个 n×1 的矩阵，即矩阵由一个含有n个元素的列所组成：列向量的转置是一个行向量，反之亦然。所有的列向量的集合形成一个向量空间，它是所有行向量集合的对偶空间。
11. 向量乘以单位矩阵等于
矩阵和向量相乘公式是一个矩阵乘以一个列向量相当于矩阵的列向量的线性组合，矩阵是由m×n个数组成的一个m行n列的矩形表格，特别地一个m×1矩阵也称为一个m维列向量；而一个1×n矩阵，也称为一个n维行向量。向量可以用矩阵表示，且有时特殊矩阵就是向量。
在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。它可以形象化地表示为带箭头的线段。箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向
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