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2022-10-07 14:551. 求解微分方程的程序
微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
2. 求解微分方程的程序叫什么
一阶微分方程
如果式子可以导成y'+P(x)y=Q(x)的形式，利用公式y=[∫Q(x)e^(∫P(x)dx)+C]e^(-∫P(x)dx)求解
若式子可变形为y'=f(y/x)的形式，设y/x=u 利用公式du/(f(u)-u)=dx/x求解
若式子可整理为dy/f(y)=dx/g(x)的形式，用分离系数法，两边积分求解
二阶微分方程
y''+py'+q=0 可以将其化为r^2+pr+q=0 算出两根为r1，r2。
1 若实根r1不等于r2 y=c1*e^(r1x)+c2*e^(r2x).
2 若实根r1=r2 y=(c1+c2x)*e^(r1x)
3 若有一对共轭复根 r1=α+βi r2=α-βi y=e^(αx)[C1cosβ+C2sinβ]
前几天刚考完试，根据常出的题型自己做的总结，希望有用处O(∩_∩)O~
解微分方程，为了得到通解，确实需要技巧的，每种类型的方程都有自己特定的解法。
function dx=tf(t,x) %保存默认的格式 tf.m
dx=zeros(2,1);
dx(1)=0.01*x(1)*x(2)-0.9*x(2);
dx(2)=0.4*x(1)-0.02*x(1)*x(2);
%%%%%主程序调用
[t,x]=ode45('tf',[0 10],[50000 200]) %[0 10] %时间起始点 ,[50000 200]) 初值设置 没有.但有通用的解法,那就数值解法.数值解法是最常用的.也是最能够体现数学之有用之处的.
万用公式肯定没有，如果是求数值解或者级数解的话有很多类型的方程解法是一样的。
不过假如仅仅指高数里面的微分方程那非常容易。
高等数学当中的一阶微分方程都是有固定解法的一类，解方程的关键是辨识要求解的方程是什么类型。
可分离变量型，往往是y'=f(x)/g(y)或者y'=f(x)g(y)这种，直接移项变为g(y)dy=f(x)dx两边积分就可解。
求根公式型（包括常数变易法公式），往往是y'=p(x)y+q(x)的形式或者经非常简短的变形就可以化为这种形式，直接套用求根公式求解。
伯努利（Bernoulli）方程，y'=p(x)y+q(x)y^n，做代换z=y^(1-n)可解，高数中含有y的2次方以上绝大多数都是这种方程。
全微分方程，M(x,y)dx+N(x,y)dy=0。高数当中不涉及可以化为全微分方程的题目，所以涉及的全微分方程都是直接就是这种形式。用凑微分法或者直接积分公式都能解。
高阶常系数微分方程只需记住齐次通解公式和两个特解形式就可以做任何题。
欧拉方程记下来它的算子法或者是变量代换法也足矣了。
3. 求解微分方程的程序是什么
1、解线性方程组的方法大致可以分为两类：直接方法和迭代法。直接方法是指假设计算过程中不产生舍入误差，经过有限次运算可求得方程组的精确解的方法；迭代法是从解的某个近似值出发，通过构造一个无穷序列去逼近精确解的方法。
2、消去法：
Gauss（高斯）消去法——是最基本的和最简单的直接方法，它由消元过程和回代过程构成，基本思想是：将方程组逐列逐行消去变量，转化为等价的上三角形方程组（消元过程）；然后按照方程组的相反顺序求解上三角形方程组，得到原方程组的解（回代过程）。
优缺点：简单易行，但是要求主元均不为0，适用范围小，数值稳定性差。
列主元素消去法——基本思想是在每次消元前，在要消去未知数的系数中找到绝对值大的系数作为主元，通过方程对换将其换到主对角线上，然后进行消元。
优点：计算简单，工作量大为减少，数值稳定性良好，是求解中小型稠密线性方程组的最好方法之一。
全主元素消去法——基本思想是在全体待选系数a(ij)（k）中选取主元，并通过行与列的互换把它换到a(kk)（k）的位置，进行消元。
优缺点：这种方法的精度优于列主元素法，它对控制舍入误差十分有效，但是需要同时作行列变换，因而程序比较复杂，计算时间较长。
3、直接三角分解法：消元过程实际上是把系数矩阵A分解成单位下三角形矩阵与上三角形矩阵乘积的过程，其中L为单位下三角形矩阵，U为上三角形矩阵。这种分解过程称为杜利特尔（Doolittle分解)，也称为LU分解。当系数矩阵进行三角分解后，求解方程组Ax = b的问题就等价于求解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y。
矩阵的直接三角分解——设A为n阶方阵，若A的顺序主子式A(i)均不为0，则矩阵A存在唯一的LU分解；
直接三角分解法——如果线性方程组Ax = b的系数矩阵已进行三角分解A=LU,则解方程组Ax=b等价于求解两个三角形方程组Ly=b和Ux=y；
列主元素的三角分解法——设矩阵A非奇异，则存在置换矩阵P，使得PA有唯一的LU分解（即PA=LU），且|l(ij)|≤1；
4、排列阵：单位矩阵经过若干次行变换所得到的矩阵。
5、克劳特（Crout）分解：将矩阵A分解成一个下三角形矩阵L与一个单位上三角形矩阵U的乘积。
6、特殊矩阵的三角分解法：在工程实际计算中，如三次样条插值或用差分法求解常微分方程边值问题，导出的线性方程组的系数矩阵A常常是稀疏的三对角形矩阵或A是对称正定阵，使得A的三角分解也具有更简洁的形式。
解三对角方程组的追赶法——三对角矩阵为非零元素集中分布在主对角线及其相邻的两条次对角线上的矩阵。
设图中的系数矩阵A满足下列条件
则A可唯一分解为
平方根法（Cholesky分解法）——设A是正定矩阵，则存在唯一的非奇异下三角形矩阵L，使得A=LLT ，且L的对角元素皆为正数。当矩阵A完成Cholesky分解后，求解方程组Ax=b就转化为依次求解方程组Ly = b，LTx = y。
优缺点：无需选择主元，计算过程也是稳定的，数量级约是Gauss消去法的一半，在求L时需做n次开方运算，故而增加了计算量。
改进平方根法（LDLT法）——对称正定矩阵A又可以作如下分解，A=LDLT ，其中L为单位下三角形矩阵，D为对角阵，记为
平方根法与改进平方根法不仅计算量仅是Gauss消去法的一半，其数值稳定性也十分良好，是求解中小型稠密对称正定线性方程组的好方法。
4.分块三角分解法——在求解微分方程数值解时，如果用差分法或有限元法离散微分方程，导出线性方程组往往是稀疏的，而且具有分块结构，这些稀疏性和分块性对于提高求解方程组的效率很有帮助。
4. 求解微分方程的方法有哪些
直接积分法，分离变量法，通解加特解法，复立叶变换法，拉普拉斯变换法，数值法，公式法。。。。
5. 微分方程式求解
微分方程的标准形式是：微分符号f(x)=0
6. 微分方程解法大全
解微分方程和微分方程组都属于数学研究的新领域，解微分方程组大概你只能通过查阅学术论文，比如：《二元常系数线性微分方程组的初等解法》《二元二次方程组解法初探》不过在网上查阅这类论文一般是收费的，在大学校内网通常可以（学校出年费）
7. 微分方程数值解法与程序实现
常系数线性微分方程：y″′-2y″+y′-2y=0，①
①对应的特征方程为：
λ3-2λ2+λ-2=0，②
将②化简得：
（λ2+1）（λ-2）=0，
求得方程②的特征根分别为：λ1=2，λ2=±i，
于是方程①的基本解组为：e2x，cosx，sinx，
从而方程①的通解为：
y(x)＝C1e2x+C2cosx+C3sinx，其中C1，C2，C3为任意常量。
二阶常系数齐次线性微分方程解法：
特征根法是解常系数齐次线性微分方程的一种通用方法。
(1+y)dx-(1-x)dy=0
==>dx-dy+(ydx+xdy)=0
==>∫dx-∫dy+∫(ydx+xdy)=0
==>x-y+xy=C (C是常数)
此方程的通解是x-y+xy=C。
8. 编程求解微分方程
微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
9. 求解微分方程的程序是
微分方程通解公式：y=(x-2)³C(x-2)(C是积分常数)。形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。
微分方程是伴随着微积分学一起发展起来的。微积分学的奠基人Newton和Leibniz的著作中都处理过与微分方程有关的问题。微分方程的应用十分广泛，可以解决许多与导数有关的问题。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题，如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题，很多可以用微分方程求解。此外，微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域都有应用。
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