1. 海伦公式最简单推导
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：
S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
而公式里的s：
s=\frac{a+b+c}{2}
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
证明
设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C，则馀弦定理为
\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}
从而有
\sin(C) = \sqrt{1-\cos^2(C)} = \frac{ \sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2} }{2ab}
因此三角形的面积S为
S = \frac{1}{2}ab \sin(C)
= \frac{1}{4}\sqrt{-a^4 -b^4 -c^4 +2a^2b^2 +2b^2c^2 +2c^2a^2}
= \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}
最后的等号部分可用因式分解予以导出。
已知三角形的三条边长分别是a、b、c，则三角形的面积：
△＝根号下s(s-a)(s-b)(s-c) 其中s=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式〔Heron's Formula〕。
我国大数学家秦九韶〔1022-1261〕在他写的《数书九章》〔成书于1247〕的第五卷《田域类》第二题「三斜求积」中所用的公式本质上与海伦公式是相同的，其意义就是：设三角形的三边分别为a，b，c，面积为Δ，则
Δ=根号下1/4｛a2b2-｛（a2+b2-c2)/2]2}
这个公式与海伦公式是等价的。
2. 海伦公式的原理
早在千年以前的古希腊时期，就有人传说，数学家阿基米德就曾经得出了海伦公式，但是有资料显示的海伦公式最早是出现在海伦的著作《测地术》之中，所以就将这个公式称之为海伦公式，我国的秦九韶得出的三斜求积术与海伦公式十分的类似。虽然三斜求积术在形式上与海伦公式不太一样，但是其是与海伦公式等价的，从这里也可以看出我国古代时就有着十分高的数学研究。
3. 海伦公式的推导过程讲解视频
2021比较流行好听的歌曲：
1、《大雾》
这首歌是最近非常火的一首歌，这首歌是一首新歌，是由棠棣作词、浅逸作曲、徐深编曲，未知音素和张一乔共同演绎的一首歌。
2、《荡漾RIPPLES》
这首歌目前在抖音等短视频平台上面非常的火，是一首非常性感的歌曲，这首歌是由ICE/SEANT作词作曲、ICE / SeanT肖恩恩演唱的一首歌，这首歌在2020年5月14日正式发行，收录在专辑《ICEKINGDOM》当中。
3、《千千万万》
这首歌是目前在抖音等短视频平台上出现的一首新歌，很受大家的欢迎，这首歌是由至遥作词、祝何作词作曲，深海鱼子酱演唱的一首歌，这首歌是在2021年1月6日正式发行的。
4、《燕无歇》
这首歌是由堇临作词，刘涛作词、作曲，蒋雪儿演唱的一首歌，这首歌在2020年8月9日发行的。在抖音上面火的那个版本是由"是七叔呢"演唱的，是一位网络男歌手。
5、《踏山河》
这首歌是由祝何作词作曲，是七叔呢演唱的一首歌，这首歌是"是七叔呢"的一首新歌，目前在抖音等各大短视频平台上面特别的火，播放量一路攀升，深受大家的喜欢。
6、《星辰大海》
这首歌是黄霄云的一首新歌，这首歌是由瞿子千、刘涛、温莨作词，瞿子千、刘涛作曲，黄霄云演唱的一首歌，这首歌目前在社交平台上面非常的火，这是黄霄云在演唱完《你的答案》这首歌之后，与这首歌的制作团队合作的一首新歌，非常的好听。
7、《白月光与朱砂痣》
这首歌是现如今非常火的一首歌，这首歌在2021年1月1日正式发行的，这首歌是由黄千芊/王佳滢作词、黄千芊/田桂宇作曲、大籽演唱的一首歌，并收录在同名专辑当中，目前是网上翻唱度非常高的一首歌。
4. 海伦公式讲解
中考考海伦公式不算超纲，因为海伦公式平时就经常要用到。
5. 海伦公式的推论
三角形的面积公式根据已知条件的不同，有以下7个面积公式：
1、已知三角形底为a，高为h，则S=ah/2。
2、已知三角形两边为a，b，且两边夹角为C，则三角形面积为两边之积乘以夹角的正弦值，即S=(absinC)/2。
3、设三角形三边分别为a,b,c，内切圆半径为r，则三角形面积S=(a+b+c)r/2。
4、设三角形三边分别为a,b,c，外接圆半径为R，则三角形面积为abc/4R。
5、在直角三角形ABC中(AB垂直于BC)，三角形面积等于两直角边乘积的一半，即：S=AB×BC/2。
6、（海伦公式）设三角形三边分别为a,b,c，三角形的面积则为：
其中，p为三角形半周长，即p=(a+b+c)/2。
7、海伦——秦九韶三角形中线面积公式：
其中，a1,b1,c1分别是三角形三边上的中线。
扩展资料
三角形的性质：
1 、在平面上三角形的内角和等于180°（内角和定理）。
2 、在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。
3、 在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。
推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4、 一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。
5、 在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。
6 、三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
7、 在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。
8、直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）。勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a?b?c?。
9、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
10、三角形的三条角平分线交于一点，三条高线的所在直线交于一点，三条中线交于一点。
11、三角形三条中线的长度的平方和等于它的三边的长度平方和的3/4。
6. 海伦公式推导方法
证明:海伦公式:若ΔABC的三边长为a.b.c.则
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
证明:设边c上的高为 h.则有
√(a＾2-h＾2)+√(b＾2-h＾2)=c
√(a＾2-h＾2)=c-√(b＾2-h＾2)
两边平方.化简得:
2c√(b＾2-h＾2)=b＾2+c＾2-a＾2
两边平方.化简得:
h=√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))
SΔABC=ch/2
=c√(b＾2-(b＾2+c＾2-a＾2)＾2/(4c＾2))/2
仔细化简一下.得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
用三角函数证明!
证明:
SΔABC=absinC/2
=ab√(1-(cosC)＾2)/2----(1)
∵cosC=(a＾2+b＾2-c＾2)/(2ab)
∴代入(1)式.(仔细)化简得:
SΔABC=√((a+b+c)×(-a+b+c)×(a-b+c)×(a+b-c))/4
7. 海伦公式定理
s=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinc
(c为a,b的夹角)
底*高/2
底x高除2
二分之一的
（两边的长度x夹角的正弦）
s=1/2的周长*内切圆半径
s=(1/2)*底*高
s=(1/2)*a*b*sinc
两边之和大于第三边，两边之差小于第三边
大角对大边
周长c=三边之和a+b+c
面积
s=1/2ah(底*高/2)
s=1/2absinc(两边与夹角正弦乘积的一半)
s=1/2acsinb
s=1/2bcsina
s=根号下：p(p-a)(p-b)(p-c)
其中p=1/2(a+b+c)
这个公式叫海伦公式
正弦定理：
sina/a=sinb/b=sinc/c
余弦定理：
a^2=b^2+c^2-2bc
cosa
b^2=a^2+c^2-2ac
cosb
c^2=a^2+b^2-2ab
cosa
三角形2条边向加大于第三边.
三角形面积=底*高/2
三角形内角和=180度
求面积吗
(上底+下底)×高÷2
三角形面积=底*高/2
三角形面积公式：
底*高/2
三角形的内角和是180
8. 三角形海伦公式推导
1三角形的面积公式
1.已知三角形底a，高h，则等腰三角形的面积为 S=ah/2。
2..已知三角形三边a,b,c，则 S=√p(p-a)(p-b)(p-c) [p=(a+b+c)/2]
3.已知三角形两边a,b,这两边夹角C，则 S=(a*b*sinC)/2
4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r,则三角形面积 S=[(a+b+c)r]/2
5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R,则三角形面积 S=abc/4R
6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式:
S=√[(Ma+Mb+Mc)*(Mb+Mc-Ma)*(Mc+Ma-Mb)*(Ma+Mb-Mc)]/3 其中Ma,Mb,Mc为三角形的中线长.
7.已知三角形的三条边为a,b,c,三角形的角为A,B,C，则三角形面积为
S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA
2三角形面积公式的推导过程
两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的面积等于这两个三角形的面积之和，底等于三角形的底，高等于三角形的高，所以一个三角形的面积=这个平行四边形的面积的一半，因为平行四边形的面积=底×高，三角形的面积×2=底×高。
所以：三角形的面积=底×高÷2，即S=ah÷2。
9. 海伦公式是如何推导的
（一）公式一: S△＝底×高÷是2
这个公式的第一次文献记载却是公元5世纪的古印度。在《阿里亚哈塔历书》（Heidi Roupp）“算数篇”第6回中，古印度著名数学家阿耶波多准确给出了一般三角形求面积的公式：
“tribhujasya phalashariram samadalakoti bhujardhasamvargah ”
译文：对于一个三角形,底的一半与高的乘积即为其面积
（二）海伦公式
已知三角形的三边长为a,b,c则面积可表示为：
海伦的公式
（三）秦九韶公式
秦九韶的公式
已知三角形三边求面积，
10. 海伦公式的例题
可以运用。
海伦公式虽然考试不会出现，但是也是在考纲范围内，运用也是没有影响的。
海伦公式又译希伦公式，传说是古代的叙拉古国王希伦二世发现的公式，利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据Morris Kline在1908年出版的着作考证，这条公式其实是阿基米德所发现，以托希伦二世的名发表。
假设有一个三角形，边长分别为a、b、c，三角形的面积S可由以下公式求得：S=根号{s(s-a)(s-b)(s-c)}而公式里的s：s={a+b+c}{2}。
由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形，所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候，不用测三角形的高，只需测两点间的距离，就可以方便地导出答案。
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