1. Jacobi变换
交换积分次序通常针对的是二元以上的函数的重积分，以二元函数的二次积分为例，∫dx∫f(x，y)dy如果通过变换成∫dy∫f(x，y)dx，由于前一个积分是先对y后对x积分，后面的恰好相反，这就是交换了积分次序，不过变换后的被积函数通常需要乘以一个变换的雅可比行列式，对于定积分而言，还需要考虑到积分上下限的变化。
2. jacobi变换矩阵
Jacobi 方法 Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法,它是基于以下两个结论 1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型,即存在正交矩阵Q,使得 QT AQ = diag(λ1 ,λ2 ,…,λn ) (3.1) 其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,Q中各列为相应的特征向量. 2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变.即设A=(aij)n×n ,Q交矩阵,记B=QT AQ=(bij)n×n ,则 Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小.反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零,从而使该矩阵近似为对角矩阵,得到全部特征值和特征向量. 1 矩阵的旋转变换 设A为n阶实对称矩阵,考虑矩阵
3. jacob函数
e，作为数学常数，是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字纳皮尔常数，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔 (John Napier)引进对数。它就像圆周率π和虚数单位i，e是数学中最重要的常数之一。
它的其中一个定义是，其数值约为（小数点后100位）：“e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274”。
第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔(John Napier)于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但它没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德(William Oughtred)制作。第一次把e看为常数的是雅各·伯努利(Jacob Bernoulli)。
已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》(Mechanica)。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的确实原因不明，但可能因为e是“指数”(exponential)一字的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，而e是第一个可用字母。不过，欧拉选这个字母的原因，不太可能是因为这是他自己名字Euler的首字母，因为他是个很谦虚的人，总是恰当地肯定他人的工作。
以e为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e是无理数和超越数（见林德曼—魏尔施特拉斯定理(Lindemann-Weierstrass)）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比如刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特(Charles Hermite)于1873年证明。
其实，
超越数主要只有自然常数(e)和圆周率(π)。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。
融合e，π的的欧拉公式，也是超越数e的数学价值的最高体现。
自然常数一般为公式中乘方的底数和对数的底。为什么会这样，主要取决于它的来历。
自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是当 时函数 值的极限。
即： 。
同时，它也等于。注意， 。
自然常数经常在公式中做对数的底。比如，对指数函数和对数函数求导时，就要使用自然常数。函数 的导数为。函数 的导数为。
因为e=2.7182818284... ，极为接近循环小数2.71828(1828循环)，那就把循环小数化为分数271801/99990，所以可以用271801/99990表示为e最接近的有理数约率，精确度高达99.9999999(7个9)% 。
4. Jacobi迭代格式
1. 用雅克比迭代法和高斯--赛德尔迭代法求解下列方程组，取迭代初值[0;0;0]。 (1) 编程求解，并与用数学软件求解的结果对比。 (2) 考察迭代法的收敛性，若均收敛，对比两种方法的收敛速度。 解：源程序： ①雅克比迭代法：建立函数文件jacobi.m function [n,x]=jacobi(A,b,X,nm,w) %用雅克比迭代法求解方程组Ax=b %输入：A为方程组的系数矩阵，b为方程组右端的列向量，X为迭代初值构成的列向量，nm为最大迭代次数，w为误差精度 %输出：x为求得的方程组的解构成的列向量，n为迭代次数 n=1; m=length(A); D=diag(diag(A)); %令A=D-L-U,计算矩阵D L=tril(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵L U=triu(-A)+D; %令A=D-L-U,计算矩阵U M=inv(D)*(L+U); %计算迭代矩阵 g=inv(D)*b; %计算迭代格式中的常数项 %下面是迭代过程 while n<=nm x=M*X+g; %用迭代格式进行迭代 if norm(x-X,2)
5. jacobi换元
对二重积分的换元，与定积分不同，不能直接利用微分确定。
面积元素dxdy换为其他的面积元素，用的是雅可比行列式J
6. jacobi变换u,v如何确定
二重积分的概念
Weierstrass函数证明了存在函数处处连续处处不可导。
与定积分概念密切相连：分割，求和，取极限。
分划成为网状分割，每个交点处横截
横截性：函数在P点横截，如果两个切线方程的线性子空间的维数等于2。
模仿定积分，给出二重积分的定义。如果记λ=max{Di的直径}
事实：
有界闭区域上连续的二元函数是可积的。
有界闭区间上分片有界连续函数可积。
性质：
线性空间的性质。
积分区域可加。
不等式保序。
特例|∬f(x,y)dσ|≤∬|f(x,y)|dσ
积分中值定理
重（二重）积分的计算
原则：把二重积分化成累次积分。
直角坐标系下的计算
先积x，y中更整齐的那一维。
先积那一维取决于简便性（菱形例）
我们可以利用累次积分的思路解决复杂定积分的问题。
例 换一个维度进行二重积分，从而把其中的ey2可以先看成常数，便于操作。
I=∫b0dx∫axey2dy=∬Dey2dxdy=∫a0dy∫y0ey2dx=∫a0ey2ydy
然后就可以凑微分
极坐标系下的计算
引入：为了解决高斯积分
适合用二重积分解决的三种典型模型
环形，不规则星形，极点在边界曲线上。（有曲边，能由这几类问题组合而成）
例 由y=x,y=2x,x2+y2=4x,x2+y2=8x围成的面积。
不适合用极坐标的例子
边界非常直的问题（直线的极坐标方程都相对繁琐）。
例 由y=x,y=0,x=1围成的面积
积分区域和被积函数的取舍？
整洁的区域和优美的函数只能选择一个
例 I=∬Ddxdy(a2+x2+y2)32D={(x,y)|0≤x≤a,0≤y≤a}主要矛盾是相对复杂的表达式与有限的计算能力的矛盾。化成极坐标方程下求解。
高斯积分的求解
三重积分
两种求解思路：
先定(x,y)求z坐标区间（外层二重积分）。
先定x坐标，切出一系列平面（内层二重积分）。
对换与轮换
几种坐标变换：
柱坐标（每个面都极坐标）、球坐标（进一步吸纳极坐标只有一个长度量的特性）、一般变换（雅可比式）。
重积分的应用
二重积分：面积，曲顶柱体的体积。
三重积分：体积，两曲面之间的体积。
椭圆型的积分
椭圆型的积分，不采取从负到正的积分限（如果出现这种情况，一般可以直接使用椭圆面积公式，或者是想错了）
通常可以使用广义极坐标变换，这使得极径的上下限极其简明。
轮换
求解重积分时的轮换只能解决类似表达式不复求的问题（比如求柱体转动惯量的x,y分量时）。
与之相较，曲线曲面积分是由等式所决定的，在区域对函数来讲高度对称的时候，使用轮换方法可以化简求解式，从而大大降低复杂度。
例球面x2+y2+z2=a2和平面x+y+z=0的交曲线，若要求∫Lx2ds可以利用13a2ds来考虑
7. 变换的jacobi行列式
rdrdθ 是进行坐标变换的产物.dxdy=rdrdθ ,这是从直角坐标系变换到极坐标系.其中的r是由雅可比行列式计算得出的.也可以直接由面积公式计算,极坐标下ds=rdθ * dr=rdrdθ 之所以只见到rdr,是因为dθ提到前面去了进行等量代换不一定都有几何意义的.f(rcosθ,rsinθ)rdr这种东西的几何意义可以理解为面密度为f(rcosθ,rsinθ)时圆的面积的1/π
8. jacobi变换公式
Jacobi 方法
Jacobi方法是求对称矩阵的全部特征值以及相应的特征向量的一种方法,它是基于以下两个结论
1) 任何实对称矩阵A可以通过正交相似变换成对角型,即存在正交矩阵Q,使得
QT AQ = diag(λ1 ,λ2 ,…,λn ) (3.1)
其中λi(i=1,2,…,n)是A的特征值,Q中各列为相应的特征向量.
2) 在正交相似变换下,矩阵元素的平方和不变.即设A=(aij)n×n ,Q交矩阵,记B=QT AQ=(bij)n×n ,则
Jacobi方法的基本思想是通过一次正交变换,将A中的一对非零的非对角化成零并且使得非对角元素的平方和减小.反复进行上述过程,使变换后的矩阵的非对角元素的平方和趋于零,从而使该矩阵近似为对角矩阵,得到全部特征值和特征向量.
9. Jacobi函数
雅可比行列式就是一种面（体）积的放缩因子。
当有些坐标系中的积分，不方便使用本坐标系来计算，却更易于使用其他坐标系计算时，就需要在积分计算中乘以一个放缩因子，以保证所计算的积分数值一致。
以二维平面为例。有连续可微函数x=x(u,v) ， y=y(u,v)，由于它的相关积分在 Oxy 平面上不易计算，需要放在 Ouv 平面中进行计算。这时，对于原来积分中的 dxdy ，就需要相应地转写成 dudv 的形式。
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