1. 矩阵的相似变换矩阵
相似矩阵求法：设A,B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使P^(-1)AP=B，则称B是A的相似矩阵，并称矩阵A与B相似，记为A~B。
1.
矩阵指在数学中，按照长方阵列排列的复数或实数集合。
2.
一个矩阵对应着一个线性变换。
3.
相似关系是一种等价关系，即满足自反性、对称性与传递性。
2. 矩阵 相似变换
正交相似是相似的一种情况，方阵A与方阵B相似是指存在可逆矩阵P，使得(P^-1)AP=B，方阵A与方阵B正交相似是指存在正交矩阵Q，使得(Q^-1)AQ=B，正交阵Q的含义是(Q^T)Q=单位阵，两个同阶的方阵不一定相似，更不一定是正交相似。相似正交对角化的本质就是相似对角化,它只是把相似对角化的变换矩阵中包含的特征向量单位化及正交化了而已.
3. 矩阵的相似变换的几何意义
特征方程中，特征值的重数定义为代数重数；而特征值所对应的特征向量所构成空间的维数，称为几何重数。通常情况下，1≤几何重数≤代数重数）。当几何重数=代数重数时，矩阵进行相似变换处理后是对角阵；当几何重数<代数重数时，矩阵相似变换后是Jordan矩阵不一定是对角阵（非主对角线上也会有非零元素）。
注：如果n阶A矩阵可以相似对角化或者二次型（这两个实质就是A就是实对称矩阵，实对称矩阵一定可以相似对角化），那么当矩阵A对应的特征值K1，K2…Ki…Kn中有重根，如二重根或三重根等等。设Km=Kn=a，那么a一定对应有两个线性无关的特征向量（因为A矩阵可以相似对角化，则存在n个线性无关的特征向量，就算有a重根，那么a重根对应的线性无关的特征向量一定有a个）
4. 什么是相似变换矩阵
在线性代数和矩阵论中，有两个m×n阶矩阵A和B，如果这两个矩阵满足B=Q-1AP(P是n×n阶可逆矩阵，Q是m×m阶可逆矩阵)，那么这两个矩阵之间是等价关系。也就是说，存在可逆矩阵，A经过有限次的初等变换得到B。
1、矩阵A和A等价(反身性);
2、矩阵A和B等价，那么B和A也等价(等价性);
3、矩阵A和B等价，矩阵B和C等价,那么A和C等价(传递性);
4、矩阵A和B等价，那么IAI=KIBI。(K为非零常数)；
5、具有行等价关系的矩阵所对应的线性方程组有相同的解；
6、对于相同大小的两个矩形矩阵，它们的等价性也可以通过以下条件来表征：
(1)矩阵可以通过基本行和列操作的而彼此变换。
(2)当且仅当它们具有相同的秩时，两个矩阵是等价的。
5. 求两个相似矩阵的变换矩阵
性质
相似变换是矩阵之间的一种等价关系，也就是说满足：
1、反身性：任意矩阵都与其自身相似。
2、对称性：如果A和B相似，那么B也和A相似。
3、传递性：如果A和B相似，B和C相似，那么A也和C相似。
矩阵间的相似关系与所在的域无关：设K是L的一个子域，A和B是两个系数在K中的矩阵，则A和B在K上相似当且仅当它们在L上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算若尔当标准形。
如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个置换矩阵，那么就称 A和B“置换相似”。 如果两个相似矩阵A和B之间的转换矩阵P是一个酉矩阵，那么就称 A和B“酉相似”。谱定理证明了每个正规矩阵都酉相似于某个对角矩阵。
相似变换下的不变性质
两个相似的矩阵有许多相同的性质：
1、两者的秩相等。
2、两者的行列式值相等。
3、两者的迹数相等。
4、两者拥有同样的特征值，尽管相应的特征向量一般不同。
5、两者拥有同样的特征多项式。
6、两者拥有同样的初等因子
6. 求矩阵的相似矩阵
矩阵等价：PAQ=B；同型矩阵而言；一般与初等变换有关；秩是矩阵等价的不变量，两同型矩阵相似的本质是秩相似；矩阵相似：P-1AP=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是二者有相等的不变因子；可看作是同一线性变换在不同基下的矩阵；矩阵相似必等价，但等价不一定相似；矩阵合同：CTAC=B；针对方阵而言；秩相等为必要条件；本质是秩相等且正惯性指数相等，即标准型相同；可通过二次型的非退化的线性替换来理解；矩阵合同必等价，但等价不一定合同。
7. 相似变换矩阵和对角矩阵
二次型经过正交变换化为标准型，等价于将二次型矩阵相似变换为对角型矩阵，由所给的标准型可知二次型矩阵相似变换为对角型的矩阵为diag(6,0,0).再由相似的矩阵有相等的迹（矩阵的迹就是其主对角线上的元素之和）而原二次型的矩阵的迹为a+a+a=3a对角型的矩阵diag(6,0,0)的迹为6+0+0=6得3a=6,所以a=2
8. 矩阵的相似变换矩阵唯一吗
哈哈，上面的算什么回答阿可以明确地告诉你，任何矩阵都是有相似矩阵的，而且还都相似于一类特殊的矩阵。上面两位说的是一个定义，另外还有一个定义就是一个矩阵经过一系列初等变换后得到新的矩阵与原矩阵相似。所以任何n阶矩阵都相似于主对角线前i个元素不为0，其余元素均为0的矩阵（这里0<i<=n）。着和解方程组中的高斯消元的原理是一致的，自己可以证明。
9. 矩阵的相似变换矩阵怎么求
相似矩阵的秩相同
所以r(a)=r(e)=3
所以a的列向量组线性无关.
10. 求相似变换矩阵的例题
是的 因为可逆矩阵左乘，对应于初等行变换 右乘对应于初等列变换
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