复合函数的单调性

简历于数学领域，复合函数是一种常见且重要的函数形式。复合函数由两个或多个函数通过一定的运算方式组合而成，而这种组合方式对于函数的单调性有着重要的影响。

什么是复合函数

复合函数是由两个或多个函数按照一定的顺序合并而成的函数。假设有函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，则它们的复合函数可以表示为：

$f \circ g (x) = f(g(x))$
或
$g \circ f (x) = g(f(x))$

复合函数的求解可以通过先求出内部函数的值，再将这些值代入外层函数中进行运算得到。复合函数的单调性则需要根据内外层函数的变化趋势进行分析。

复合函数的单调性是指在定义域上，函数值随着自变量的增减而呈现出的变化规律。

首先，我们需要了解一下关于单调性的定义：

若对于定义域上的任意 $x_1$ 和 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) < f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$ 在该区间上为严格增函数。
若对于定义域上的任意 $x_1$ 和 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) \leq f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$ 在该区间上为增函数。
若对于定义域上的任意 $x_1$ 和 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) > f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$ 在该区间上为严格减函数。
若对于定义域上的任意 $x_1$ 和 $x_2$，当 $x_1 < x_2$ 时，有 $f(x_1) \geq f(x_2)$ 成立，则称函数 $f(x)$ 在该区间上为减函数。

了解了单调性的定义后，我们可以通过复合函数的求导来判断其单调性。对于两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的复合函数，如果满足以下条件：

当 $f'(x) > 0$ 且 $g'(x) > 0$ 时，复合函数 $f \circ g (x)$ 是增函数。
当 $f'(x) < 0$ 且 $g'(x) < 0$ 时，复合函数 $f \circ g (x)$ 是减函数。

这是由于导数的正负表示函数的增减趋势。

复合函数单调性的例子

让我们通过一个简单的例子来进一步理解复合函数的单调性。

假设有函数 $f(x) = 2x+1$ 和 $g(x) = x^2$，我们来求解复合函数 $f \circ g (x)$ 和 $g \circ f (x)$ 的单调性。

首先，求解 $f \circ g (x)$：

根据复合函数的定义 $f \circ g (x) = f(g(x))$，将函数 $g(x)$ 代入函数 $f(x)$ 中得到：

$f \circ g (x) = 2(g(x))+1$

化简得：

$f \circ g (x) = 2(x^2)+1$

接着，求导：

$\frac{d}{dx} (f \circ g (x)) = \frac{d}{dx} (2(x^2)+1)$

使用求导法则得：

$\frac{d}{dx} (2(x^2)+1) = 4x$

由此可知，当 $x > 0$ 时，$f \circ g (x)$ 为增函数；当 $x < 0$ 时，$f \circ g (x)$ 为减函数。

然后，求解 $g \circ f (x)$：

根据复合函数的定义 $g \circ f (x) = g(f(x))$，将函数 $f(x)$ 代入函数 $g(x)$ 中得到：

$g \circ f (x) = (f(x))^2$

化简得：

$g \circ f (x) = (2x+1)^2$

接着，求导：

$\frac{d}{dx} (g \circ f (x)) = \frac{d}{dx} ((2x+1)^2)$

使用链式法则得：

$\frac{d}{dx} ((2x+1)^2) = 4(2x+1)$

由此可知，$g \circ f (x)$ 在定义域上都为增函数。