收敛函数定义？

假设在定义域上可以定义一族函数 他们的定义域相同， 此时 我们任取定义域中的一个点 a ，在这个点a上, 此前定义的一族函数的值全部确定了。 也就是说我们得到了可数多个数值， 有了可数多个数值， 就有了一个数列，这个数列就是（f_n(a)). 既然有了数列，就可以讨论数列的收敛问题。 如果数列 f_n (a) 收敛于某一个数， 而这个数 恰巧是某一个函数f 在a点的值。 因为a是定义域内任意的点，也就是说 我们在定义域内每个点每个点的去看 都满足上述数列的性质。 则出现了一个 新的函数f 定义于定义域上。这个函数 就叫做极限函数 ，这种收敛 就叫做逐点收敛 pointwise convergence （即 对于每一个定义域中的点，函数族在该点上形成的数值数列收敛于极限函数在该点上的数值）。

针对于逐点收敛，在每点上的收敛速度是不同的。 从定义来看，\epsilon-N 中的 大N 依赖于a点，但是这种逐点收敛并不能保证一些性质， 即连续函数族是否逐点收敛到连续函数，可微函数族是否收敛到可微函数，以及逐点收敛能否保证可积性，等等等等。 基于以上考虑， 我们要修正逐点收敛的定义，以定义出新的更加精准的定义去保证我们上述提到的东西。 这样我们便引出了一致收敛定义。即N仅仅依赖于\varepsilon 从图上来看， 每点去躺到极限函数的速度是一致的。 几何解释为 在极限函数周围 画一个带子 半径是\varepsilon 函数族从某一个大N开始 以后所有的函数 都落在这个带子中

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